COMBINACIÓN LINEAL

INTRODUCCIÓN 

En este apartado se introduce uno de los conceptos más importantes del curso: el de combinación lineal entre vectores. Se establece la relación entre el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales y el problema de determinar si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores. El resultado clave indica que es equivalente buscar la solución a un sistema de ecuaciones lineales que determinar los valores de los coeficientes que multiplicando cada una de las columnas de la matriz de coeficientes y sumando los vectores resultantes da como resultado el vector de constantes del sistema.

COMBINACIÓN LINEAL ENTRE VECTORES 

El curso de álgebra lineal puede a la vez considerarse aburrido por monotemático; el curso de álgebra lineal puede a la vez considerarse aburrido por monotemático; el problema fundamental del álgebra lineal es resolver sistemas de ecuaciones lineales. Y por consiguiente, prácticamente la totalidad de los temas tiene como fin analizar los sistemas lineales y sus soluciones.  Después del concepto de sistema de ecuaciones el segundo concepto en importancia es el de combinación lineal. Veamos cómo se motiva este concepto.

Ejemplo

 Supongamos el sistema de ecuaciones lineales:

Sabemos que cada ecuación representa una línea recta en R² y que la solución a él coincide con la intersección de las rectas.

Para buscar otra visión de la situación, sustituimos la solución x = 2 y y = 1:

En notación vectorial, lo anterior queda

o también

En la figura 2 se muestran las columnas de la matriz y el vector de constantes: el grid nos sirve para indicar cómo obtener el vector de constantes combinando las columnas de la matriz

Desde el punto de vista de las columnas de la matriz de coeficientes y del vector de constantes: 

la solución al sistema de ecuaciones representa los coeficientes por los cuales hay que multiplicar a cada columna de la matriz de coeficientes para que al sumar resultados se obtenga el vector de constantes.

Si la matriz de coeficientes es A y el vector de constantes es b, la relación dice

x (columna 1 de A)+y (columna 2 de A) = (vector de constantes)

Ejemplo

 Continuemos con la empresa maquiladora del ejemplo anterior. Supongamos que la empresa construye ensambles tipo D y ensambles tipo E. Para construir un ensamble D requiere 3 As, 4 Bs y 2 Cs. Y para construir un ensamble E requiere 5 As, 3 Bs y 2 Cs. Un día notan que han usado 130 A, 111 Bs y 64 Cs para ensamblar Ds y Es. ¿Cuántos Ds y cuántos E han hecho?

Respuesta 

En este caso buscamos los valores de x, el número de Ds construidos, y de y, el número de Es construidos. Así debe cumplirse que:

Si desarrollamos e igualamos componente a componente tenemos que nuestro problema consiste en resolver el sistema

al formar la matriz aumentada y reducirla se obtiene

de donde la solución es X= 15 (15 del tipo D) y Y= 17 (17 del tipo E).

Nuevamente observamos que la solución X = 15 y Y= 17 de

representa los coeficientes por los cuales multiplicar las columnas de la matriz de coeficientes para que al sumar estos productos se obtenga el vector de términos constantes:

Demos ahora la definición de combinación lineal: Sean ~v1, ~v2, . . . , ~vk, vectores n y sean c1, c2, . . . , ck escalares. El vector de la forma 

c1~v1 + c2~v2 + · · · + ck~vk 

Se llama combinación lineal de ~v1, ~v2, . . . , ~vk. Los escalares c1, c2, . . . , ck se llaman coeficientes de la combinación lineal.

Si x1, x2, . . . , xn son las incógnitas de un sistema cuya matriz de coeficientes es A y cuyo vector de constantes es b, siendo también a1, a2, . . . , an las columnas de A entonces:

 Ax = b ↔ X1 A1 + X2 A2 + · · · + Xn An = b

Es decir, el sistema tiene solución si y sólo si b es una combinación lineal de las columnas de la matriz A. La solución del sistema es el vector formado por coeficientes de la combinación lineal de las columnas de A que dan b.

Nota

Es conveniente observar, por el trabajo que pude ahorrar, cómo se forma la matriz aumentada del sistema directamente de los datos.

• La matriz de coeficientes se forma con los vectores que se deben combinar. Estos entran como columnas en orden de aparición.
• El vector de constantes es el vector que uno se pregunta si es combinación lineal de los vectores dados. 

Si acaso el sistema formado es consistente, el vector sí es combinación lineal de los vectores dados. Si el sistema es incosistente, el vector no es combinación lineal.