METODO GAUSS-JORDAN

 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR GAUSS

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado. Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta)

Un sistema de ecuaciones (lineales) es un conjunto de ecuaciones (lineales) con varias incógnitas. Generalmente, las incógnitas aparecen en varias ecuaciones.

Lo que hace una ecuación con varias incógnitas es relacionarlas entre sí.

Resolver un sistema consiste en encontrar los valores de todas las incógnitas para los cuales se verifican todas las ecuaciones que conforman el sistema. Si alguna de las ecuaciones no se verifica, entonces no se trata de una solución.

·         Si hay una única solución (un valor para cada incógnita) decimos que el sistema es compatible determinado (SCD).

·         Si hay varias (en este caso hay infinitas) soluciones, decimos que es compatible indeterminado (SCI).
·         Si no hay ninguna, y esto ocurre cuando dos o más ecuaciones no pueden verificarse al mismo tiempo, decimos que es incompatible (SI). Por ejemplo, el sistema de ecuaciones

Es incompatible ya que la segunda ecuación exige x = 0 y la tercera, x = 1.

En esta sección vamos a resolver sistemas mediante el método de eliminación de Gauss, que consiste simplemente en realizar operaciones elementales fila o columna sobre la matriz ampliada del sistema hasta obtener la forma escalonada o escalonada reducida (Gauss-Jordan).

Sin embargo, cabe decir que probablemente el método más rápido es estudiar el rango de la matriz para determinar el tipo de sistema. Si es SCD, aplicamos Cramer. Si es SCI, eliminación de Gauss. Si es SI, no necesitamos realizar cálculos.

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Recordemos que...

En un sistema de ecuaciones, una operación elemental fila consiste en:

·         Multiplicar toda una ecuación por en escalar no nulo.

·         Intercambiar el orden de las filas.

·         Sumar a una ecuación otra ecuación multiplicada por un escalar.

Este tipo de operaciones no alteran la solución del sistema. Es por esto que decimos que los sistemas son equivalentes.

Matrices Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n numero de variables. Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso. 

El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicación. 

El procedimiento es el siguiente...

Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n numero de variables por ejemplo:

-3x + 3y + 2z = 1 

4x + y - z = 2

 x - 2y + z = 3 

Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz: 

En el ejemplo, el -3 de la primera matriz se tiene que convertir en un 1, según la matriz identidad, así que hay que dividir entre -3, pero como una operación se aplica a toda la fila, entonces toda la primera fila se tiene que dividir entre –3:  

Después, como se ve en la matriz identidad, hay que hacer 0 toda la columna debajo del 1, y se hace multiplicando por algo la fila de arriba y sumándola a la fila de abajo. En este caso, se multiplica por -4 la fila de arriba y se suma con la correspondiente posición de la fila de abajo:  

Para hacer cero el siguiente renglón simplemente hay que multiplicar por –1 al primer renglón sumarlo al tercero:

  

El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener el siguiente 1, que en este caso iría en donde esta el 5 en la segunda fila. Para lograrlo hay que dividir toda la segunda fila entre 5:

Después se tienen que hacer 0 los que están arriba y abajo del 1, que en este caso sería, para el que esta arriba R2 + R1: 

Ahora hay que hacer cero la posición a12. En este caso con hacer R2+R1 es suficiente: 

Dividir entre 2 R3 nos permite encontrar el otro 1, el de la posición a33:  

Ahora necesitamos ceros en las posiciones a13 y a23. Dividir entre ⅓ R3 y sumarlo a R1 nos permitirá encontrar uno de ellos:

  

El último cero lo logramos multiplicando por -⅓R3 y sumándolo a R2:  

Al encontrar la matriz identidad se encuentra la solución del sistema de ecuaciones, pues esto se traduce a:

x = 1

y = 0

z = 2 

las cuales resuelven el sistema de ecuaciones de forma simultánea. La comprobación es la siguiente:

 -3(1) + 3(0) + 2(2) = -3 + 4 =1 

 4(1) + (0) - (2) = 4 - 2 = 2 

 (1) - 2(0) + (2) = 1 + 2 = 3 

Como puede verse el método Gauss-Jordan es una herramienta útil en la resolución de este tipo de problemas y actualmente existen programas matemáticos que lo utilizan para una gran variedad de cálculos en una gran variedad de áreas, tanto científicas como socioeconómicas.