MATRICES

DEF: MATRICES

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Elemento de una matriz

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxnes una matriz que tiene m filas y n columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij).

Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por aij.

Matrices iguales 

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

                                                                  TIPOS DE MATRICES

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α ·A)t = α· At

(A · B)t = Bt · At

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

OPERACIONES ENTRE MATRICES

suma de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.
Ejemplo:

PROPIEDADES

1. Interna
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
2. Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
3. Elemento neutro
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
4. Elemento opuesto
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
5. Conmutativa
A + B = B + A
A Continuación les dejo un link donde pueden ver la suma entre dos matrices del mismo tamaño m x n
LINK SUMA DE MATRICES
LINK RESTA DE MATRICES

PRODUCTO POR UN ESCALAR

Dada una matriz A = (aij) y un número real k , se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz de la misma dimensión que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
Esto quiere decir que si tenemos un escalar cualquiera k que este en los números reales ejm:2 , este entra a multiplicar todas las entradas de la matriz A
k · A = (k · aij)


PROPIEDADES

1) a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn , a, b
2 )a · (A + B) = a · A + a · BA, B Mmxn , a
3)(a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b 4 1 · A = A A Mmxn

LINK PRODUCTO POR UN ESCALAR

PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Am x n x Bn x p = Cm x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

PROPIEDADES

1) Asociativa:A · (B · C) = (A · B) · C
2) Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
3) Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
4) No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A
Ejemplo



Podemos ver que en este caso, A · B ≠ B · A, de hecho ni si quiera tienen la misma dimensión, pues A · B ∈ M2x2 y B · A ∈ M3x3.