ECUACIONES LINEALES

Ecuación lineal con n incógnitas:

Cualquier expresión del tipo:a₁x₁+ a₂x₂ + a₃x₃ + ... +a_nx_n = b, donde a_i, b. Los valores a_i se denominan coeficientes, b término independiente y los valores x _i incógnitas.

solución de una ecuación lineal:

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación .

Ejemplo: 

Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son solución de ella: (1, −1, 1, −1), (−2, −2, 0, 4).

Ecuaciones equivalentes: Son aquellas que tienen la misma solución.

Sistema de ecuaciones

Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + .....................+a_1nx_n = b₁

a_21x1 + a₂₂x₂ + .....................+a_2nx_n = b₂

.......................................................................

 a_m1x₁ + a_m2x₂ + .....................+a_mnx_n = b_m

• x_i son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).
• a_ij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n).
• b_i son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).
• m, n  ;        m > n, ón , m = n, ón , m < n.
• Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.
• a_ij y b _i  .
• Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...
• Cuando b_i = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

solución de un sistema: Es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

Clasificación de sistemas

Atendiendo al número de sus soluciones:´

• Incompatible: no tiene solución.
• Compatible: tiene solución.
• Compatible determinado: solución única.
• Compatible indeterminado: infinitas soluciones.

Sistemas escalonados:

Son aquellos en que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. 

Sistemas equivalentes

Son aquellos que tienen la misma solución , aunque tengan distinto número de ecuaciones. Obtenemos sistemas equivalentes por:

eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

• Todos los coeficientes son ceros.
• Dos filas son iguales.
• Una fila es proporcional a otra.
• Una fila es combinación lineal de otras.

Transformaciones:

Se pueden realizar las siguientes transformaciones:

• Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema.
• Cambiar el orden de las incógnitas en la ecuación .
• Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
• Sustituir una ecuación del sistema por una combinación lineal de ella y de las restantes siempre que el coeficiente de la ecuación sustituida sea distinto de cero.